已知P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA⊥PC，PB⊥PC，PA⊥PB．求證：P在面ABC上的射影H是△ABC的垂心．
考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：利用向量的數(shù)量積公式，證明
AH
•
BC
=0，
BH
•
AC
=0，
CH
•
AB
=0，即可得到結(jié)論．
解答： 證明：如圖所示，連結(jié)AH、BH、CH，
∵PA⊥PC，PB⊥PC，PA⊥PB
∴
PA
•
PC
=0，
PB
•
PC
=0，
PA
•
PB
=0，
又∵PH⊥面ABC，
∴
PH
•
BC
=0，
PH
•
AB
=0，
PH
•
AC
=0，
∴
AH
•
BC
=（
PH
-
PA
）•
BC
=
PH
•
BC
-
PA
•
BC
=0-
PA
（
PC
-
PB
）=0-
PA
•
PC
+
PA
•
PB
=0．
同理可證：
BH
•
AC
=0，
CH
•
AB
=0．
∴H是△ABC的垂心．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直、線線垂直，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

平面上的兩個(gè)向量
OA
，
OB
滿足
|OA|
=a，
|OB|
=b，且
OA
⊥
OB
，a2+b2=4．向量：
OP
=x
OA
+y
OB
（x，y∈R），且a2(x-
1
2
)2+b2(y-
1
2
)2=1．
（1）如果點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，求證：
MP
=(x-
1
2
)
OA
+(y-
1
2
)
OB
；
（2）求丨
OP
丨的最大值，并求此時(shí)四邊形OAPB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某次市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，甲、乙、丙三科考試成績(jī)的直方圖如圖所示（由于人數(shù)眾多，成績(jī)分布的直方圖可視為正態(tài)分布），則由圖中曲線可得下列說(shuō)法中正確的一個(gè)是（　　）
A、甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小
B、乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都居中
C、丙科總體的平均數(shù)最小
D、甲、乙、丙的總體的平均數(shù)不相同

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)镽的二次函數(shù)f（x）的最小值為0，且有f（1+x）=f（1-x），直線g（x）=4（x-1）的圖象被f（x）的圖象截得的弦長(zhǎng)為4
17
，數(shù)列{an}滿足a=2，（an+1-an）•g（an）+f（an）=0（n∈N*）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)bn=3f（an）-g（an），求數(shù)列的{bn}的最值及相應(yīng)的n．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
(
1
2
)x+
3
4
，x≥2
log2x，0＜x＜2
，若函數(shù)g（x）=f（x）-k有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�
A、（
3
4
，1）
B、（0，
3
4
）
C、（-∞，1）
D、（0，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

把函數(shù)y=log2（x-2）+3的圖象按向量
a
平移，得到函數(shù)y=log2（x+1）-1的圖象，則
a
等于（　�。�
A、（-3，-4）
B、（3，4）
C、（-3，4）
D、（3，-4）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在邊長(zhǎng)為a的正△ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B-AD-C后，BC=
1
2
a，這時(shí)二面角B-AD-C的大小為（　�。�
A、30°B、45°
C、60°D、90°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

直線y=
3
x被圓x2+y2-2x=0所截得的弦長(zhǎng)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，正視圖為正方形，俯視圖為半圓，側(cè)視圖為矩形，則其表面積為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案