Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=

3

2

(an-1)(n∈N*)，數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+1=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式a_n和b_n；
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，并求T_n的最小值．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列的求和,數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用已知條件求出數(shù)列{a_n}首項，判斷是等比數(shù)列，即可求出通項公式，利用P（b_n，b_n+1）在直線x-y+1=0上，圖象數(shù)列是等差數(shù)列，即可求解{b_n}的通項公式b_n；
（2）化簡c_n=a_n•b_n，利用錯位相減法直接數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，通過單調(diào)性即可求T_n的最小值．

解答： 解：（1）∵S_n=

3

2

(an-1)(n∈N*)，當n=1 時S₁=a₁=

3

2

(a1-1)，解得a₁=3；
當n≥2時an=Sn-Sn-1=

3

2

(an-1)-

3

2

(an-1-1)，得

an

an-1

=3，
又a₂=3a₁=9，所以an=3n；…（4分）
∵點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+1=0上，∴b_n-b_n+1+1=0，
即b_n+1-b_n=1，所以數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，又b₁=1可得b_n=n．…（6分）
（ 2）∵c n=n×3n，
∴Tn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，
3Tn=1×32+2×33+…+n×3n+1，
兩式相減得-2Tn=3+32+33+…+3n-n×3n+1，
即-2Tn=

3(1-3n)

1-3

-n×3n+1，
因此：Tn=

(2n-1)3n+1

4

+

3

4

…．（11分）
∵T_n單調(diào)遞增∴當n=1時{T_n}最小值為3…（13分）

點評：本題考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列求和的方法錯位相減法的應(yīng)用，基本知識的考查．