Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=a（S_n-a_n+1）（a為常數(shù)，且a＞0），且a₃是6a₁與a₂的等差中項(xiàng)．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_nlog₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)已知條件即可求出a=3，所以根據(jù)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1可得到a_n=3a_n-1，所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，所以根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫出a_n；
（2）bn=n•3nlog23，所以Tn=log23•(1•31+2•32+…+n•3n)   ①，而要求1•3¹+2•3²+…+n•3ⁿ容易想到用錯(cuò)位相減法：3Tn=log23•(1•32+2•33+…+n•3n+1)     ②，①-②即可求得T_n．

解答： 解：（1）根據(jù)S_n=a（S_n-a_n+1），分別令n=1，2，3，可求得：
a1=a，a2=a2，a3=a3；
∴6a+a²=a³；
∵a＞0；
∴6+a=a²，解得a=3；
∴S_n=3（S_n-a_n+1）①；
∴n＞1時(shí)，S_n-1=3（S_n-1-a_n-1+1）②；
∴①-②得：a_n=3a_n-1；
∴

an

an-1

=3；
∴{a_n}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列；
∴an=3n；
（2）bn=3nlog23n=n•3nlog23；
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=log₂3（1•3¹+2•3²+…+n•3ⁿ）     ①；
∴3T_n=log23(1•32+2•33+…+n•3n+1)                    ②；
∴①-②得：-2Tn=log23(3+32+…+3n-n•3n+1)=log23•[

3(1-3n)

1-3

-n•3n+1]=

3

2

-(n+

1

2

)3n+1；
∴Tn=-

3

4

+

2n+1

4

•3n+1．

點(diǎn)評(píng)：考查前n項(xiàng)和的定義，等差中項(xiàng)的定義，以及前n項(xiàng)和S_n和通項(xiàng)a_n的關(guān)系，等比數(shù)列的定義以及通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的求和公式，以及利用錯(cuò)位相減求前n項(xiàng)和的方法．