Question

已知為為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，焦距，過左焦點(diǎn)垂直于軸的直線，與雙曲線相交于兩點(diǎn)，且為等邊三角形.

（1）求雙曲線的方程；

（2）設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，過右焦點(diǎn)作的垂線交雙曲線與兩點(diǎn)，求證：直線平分線段（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（3）是否存在過右焦點(diǎn)的直線，它與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn)，且使得的面積為？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1);(2)證明見解析；（3）不存在．

【解析】

試題分析：（1）利用等邊三角形確定值即可雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用點(diǎn)差法進(jìn)行證明；(3)假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)直線,聯(lián)立兩直線方程，求出的縱坐標(biāo)，再求其面積，通過方程是否有解進(jìn)行判斷.

試題解析：（1），∵等邊三角形，∴，，，∴；

（2）【解析】
設(shè)，，中點(diǎn)為，然后點(diǎn)差法，

即得，

∴，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，所以為中點(diǎn)，得證；

（3）【解析】
假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)直線，，

聯(lián)立得；聯(lián)立得；

，即；

∴，該方程無解，所以不存在這樣得直線．

考點(diǎn)：1.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.點(diǎn)差法；3.兩直線的交點(diǎn)問題.

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 考點(diǎn)2：雙曲線的幾何性質(zhì) 試題屬性

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