【題目】在平面直角坐標系中,點、、.
(1)求以線段、為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長;
(2)設,且,若,求的值.
【答案】(1)、;(2).
【解析】
(1)方法一:計算出向量、,利用平面向量的坐標運算可求出所求得的兩條對角線和的長度;
方法二:利用平行四邊形的對角線互相平分可求出第四個頂點的坐標,然后利用兩點間的距離公式可求得平行四邊形兩條對角線的長度;
(2)求出向量的坐標,然后利用共線向量的坐標表示可得出關于實數(shù)的方程,解出即可.
(1)(方法一)由題設知,,
則,.
所以,.
故所求的兩條對角線的長分別為、;
(方法二)設該平行四邊形的第四個頂點為,兩條對角線的交點為,
則為、的中點,,
又為的中點,則,解得,則點,
由兩點間的距離公式可得,
,
故所求的兩條對角線的長分別為、;
(2)由題設知:,.
由,得,從而,所以.
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【題目】滿足性質:“對于區(qū)間(1,2)上的任意,恒成立”的函數(shù)叫Ω函數(shù),則下面四個函數(shù)中,屬于Ω函數(shù)的是( )
A.B.C.D.
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【題目】已知函數(shù)和(且為常數(shù)),則下列結論正確的是( )
A.當時,存在實數(shù),使得關于的方程有四個不同的實數(shù)根
B.存在,使得關于的方程有三個不同的實數(shù)根
C.當時,若函數(shù)恰有個不同的零點、、,則
D.當時,且關于的方程有四個不同的實數(shù)根、、、,若在上的最大值為,則
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【題目】某區(qū)組織部為了了解全區(qū)科級干部“黨風廉政知識”的學習情況,按照分層抽樣的方法,從全區(qū)320名正科級干部和1280名副科級干部中抽取40名科級干部預測全區(qū)科級干部“黨風廉政知識”的學習情況.現(xiàn)將這40名科級干部分為正科級干部組和副科級干部組,利用同一份試卷分別進行預測.經(jīng)過預測后,兩組各自將預測成績統(tǒng)計分析如下表:
分組 | 人數(shù) | 平均成績 | 標準差 |
正科級干部組 | 80 | 6 | |
副科級干部組 | 70 | 4 |
(1)求;
(2)求這40名科級干部預測成績的平均分和標準差;
(3)假設該區(qū)科級干部的“黨風廉政知識”預測成績服從正態(tài)分布,用樣本平均數(shù)作為的估計值,用樣本標準差作為的估計值.利用估計值估計:該區(qū)科級干部“黨風廉政知識”預測成績小于60分的約為多少人?
附:若隨機變量服從正態(tài)分布,則;;.
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【題目】已知數(shù)列的前項和為,且,().
(1)計算,,,,并求數(shù)列的通項公式;
(2)若數(shù)列滿足,求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(3)由數(shù)列的項組成一個新數(shù)列:,,,,,設為數(shù)列的前項和,試求的值.
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【題目】甲乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2,紅桃3,紅桃4,方片4)完游戲,他們將撲克牌洗勻后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一張.
(1)設分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字,寫出甲乙二人抽到的牌的所有情況;
(2)若甲抽到紅桃3,則乙抽出的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少?
(3)甲乙約定:若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大,則甲勝,反之,則乙勝,你認為此游戲是否公平,說明你的理由.
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【題目】某兒童玩具生產(chǎn)廠一車間計劃每天生產(chǎn)遙控小車模型、遙控飛機模型、遙控火車模型這三種玩具共個,生產(chǎn)一個遙控小車模型需分鐘,生產(chǎn)一個遙控飛機模型需分鐘,生產(chǎn)一個遙控火車模型需分鐘,已知總生產(chǎn)時間不超過分鐘,若生產(chǎn)一個遙控小車模型可獲利元,生產(chǎn)一個遙控飛機模型可獲利元,生產(chǎn)一個遙控火車模型可獲利元,該公司合理分配生產(chǎn)任務可使每天的利潤最大,則最大利潤是__________元
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