Question

已知數(shù)列a_n滿足a₁=1，a_n+1•a_n+a_n+1=a_n，（n≥1），數(shù)列b_n滿足b₁=

1

2

，b₂=

1

4

，對(duì)任意n∈N^*，都有b_n+1²=b_n×b_n+2．
（1）證明：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，并求a_n；
（2）令T_n=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

，求證：

3

2

≤Tn＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a_n+1=

an

an+1

，從而

1

an+1

=

1

an

+1，由此數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，從而a_n=

1

n

．
（2）由已知得b_n=（

1

2

）ⁿ．從而

bn

an

=

( 1 2 )n

1 n

=n•（

1

2

）ⁿ，由此利用錯(cuò)位相減法能證明

3

2

≤T_n＜4．

解答： （1）證明：∵數(shù)列a_n滿足a₁=1，a_n+1•a_n+a_n+1=a_n，（n≥1），
∴a_n+1=

an

an+1

，
∴

1

an+1

=

1

an

+1，
∴數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

1

an

=1+（n-1）=n，
∴a_n=

1

n

．
（2）∵數(shù)列b_n滿足b₁=

1

2

，b₂=

1

4

，對(duì)任意n∈N^*，都有b_n+1²=b_n×b_n+2．
∴{b_n}是首項(xiàng)為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴b_n=（

1

2

）ⁿ．
∴

bn

an

=

( 1 2 )n

1 n

=n•（

1

2

）ⁿ，
∴Tn=1•

1

2

+2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n，①

1

2

Tn=(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+3•(

1

2

)4+…+n(

1

2

)n+1，②
①-②，得：

1

2

T _n=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1
=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n（

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴T_n=4-（n+4）•(

1

2

)n＜4，
∴{T_n}是增數(shù)列，∴{T_n}_min={T₁}=

3

2

．
∴

3

2

≤T_n＜4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列為等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．