在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若20a
BC
+15b
CA
+12c
AB
=
0
，則△ABC的最小角的正弦值等于
 
．
考點：平面向量的基本定理及其意義
專題：平面向量及應用
分析：由條件求得（20a-15b）
AC
+（12c-20a）
AB
=
0
．根據(jù)
AC
、
AB
不共線，求得b=
4
3
a，c=
5
3
a，可得a最小，再由余弦定理求得cosA的值，可得sinA的值．
解答： 解：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若20a
BC
+15b
CA
+12c
AB
=
0
，
則20a（
AC
-
AB
）+15b
CA
+12c
AB
=（20a-15b）
AC
+（12c-20a）
AB
=
0
．
∵
AC
、
AB
不共線，故有20a-15b=0，12c-20a=0．
∴b=
4
3
a，c=
5
3
a，a、b、c分別為△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，∴a最小，
∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
4
5
，∴sinA=
1-cos2A
=
3
5
，
即△ABC的最小角的正弦值等于
3
5
．
故答案為：
3
5
．
點評：本題考查平面向量基本定理與余定理的綜合應用，求得b=
4
3
a，c=
5
3
a，是解題的關(guān)鍵，也是難點，考查運算求解能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）證明：函數(shù)f（x）=
1
x
-x2在[1，2]是減函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)f（x）=
1
x3
的奇偶性．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，設A（3，2），B（-2，-3），沿y軸把坐標平面折成120°的二面角后，AB的長為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知y=f（x），f(
1
2
)=4，對任意實數(shù)x，y滿足：f（x+y）=f（x）+f（y）-3
（Ⅰ）當n∈N*時求f（n）的表達式；
（Ⅱ）若b1=1，bn+1=
bn
1+bn•f(n-1)
(n∈N*)，求bn；
（Ⅲ）記c n=
4bn
(n∈N*)，試證c1+c2+…+c2014＜89．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an=cos
2n
3
π+sin
2n
3
π，n∈N+，則a1+a2+a3+…+a2014=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
45
+
y2
20
=1上一點P與橢圓兩個焦點連線互相垂直，求點P的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

計算：
∫
e
0
π（lnx）2dx=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），若同時滿足下列條件：
①f（x）在D內(nèi)具有單調(diào)性；
②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]；那么稱y=f（x）（x∈D）為閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)y=-x3符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數(shù)f（x）=
3
5
x+
2
x
（x＞0）是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（3）若函數(shù)y=k+
x+1
是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

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