Question

【題目】橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為，.過(guò)且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為1.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、（不與點(diǎn)、重合），直線與直線相交于點(diǎn)，求證：、、三點(diǎn)共線.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)已知可得，結(jié)合離心率和關(guān)系，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）斜率不為零，設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到縱坐標(biāo)關(guān)系，求出方程，令求出坐標(biāo)，要證、、三點(diǎn)共線，只需證，將分子用縱坐標(biāo)表示，即可證明結(jié)論.

（1）由于，將代入橢圓方程，

得，由題意知，即.

又，所以，.

所以橢圓的方程為.

（2）解法一：

依題意直線斜率不為0，設(shè)的方程為，

聯(lián)立方程，消去得，

由題意，得恒成立，設(shè)，，

所以，

直線的方程為.令，得.

又因?yàn)?/span>，，

則直線，的斜率分別為，，

所以.

上式中的分子

，

.所以，，三點(diǎn)共線.

解法二：

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由題意，得的方程為，

代入橢圓的方程，得，，

直線的方程為.

則，，，

所以，即，，三點(diǎn)共線.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，

設(shè)的方程為，，，

聯(lián)立方程消去，得.

由題意，得恒成立，故，.

直線的方程為.令，得.

又因?yàn)?/span>，，

則直線，的斜率分別為，，

所以.

上式中的分子

所以.

所以，，三點(diǎn)共線.