Question

已知函數(shù)f（x）=

x2-x+1，x≤1 2x+a，x＞1

且f（f（-1））=7．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的值,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求（1）f（-1）=（-1）²-（-1）+1=3，再代入f（f（-1））得f（f（-1））=f（3）=2³+a=7，即可得到a=-1；
（2）由（1）知，a=-1，故f（x）=

x2-x+1，x≤1 2x-1，x＞1

，在當(dāng)x≤1時與當(dāng)x＞1時，分別研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值．

解答： 解：（1）f（-1）=（-1）²-（-1）+1=3，∴f（f（-1））=f（3）=2³+a=7，
∴a=-1
（2）由（1）知，a=-1，故f（x）=

x2-x+1，x≤1 2x-1，x＞1

當(dāng)x≤1時，f（x）=x²-x+1=（x-

1

2

）²+

3

4

≥

3

4

，即x∈[0，1]時f（x）先減后增；
當(dāng)x＞1時，f（x）=2^x-1＞2¹-1=1，為增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的最小值應(yīng)在x=

1

2

時取，
故當(dāng)x=

1

2

時，f（x）_min=f（

1

2

）=

3

4

．

點評：本題主要考查分段函數(shù)的有關(guān)知識，解決問題的關(guān)鍵是在分段函數(shù)的每一段上考慮函數(shù)的表達(dá)式．