Question

【題目】設集合， 是集合的所有子集組成的集合.若集合滿足對任意的映射，總存在，使得成立，其中，表示集合的子集的補集，為給定的正整數.試求所有滿足上述條件的集合.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

記.若存在有限子集，滿足.

首先證明：存在映射，對任意的集合，均有.

設集合的全部子集構成的集合為,

其中，，，，.

定義映射，，，則對任意的，均有.

定義映射，對于任意的，設，.則.

定義

其中，.則對任意的，均有.

因此，對于映射，若不存在集合，使得，則.

其次證明：對任何有限集，，均滿足題設條件.

反證法.

假設存在映射，使得對任意的，均有.

任取，由是有限集，故必存在整數，使得，且對任意的、，有.

設.則.

同理，，，……

.

由此知.

所以，，與不含不為1的奇數因子矛盾.

因此，不存在這樣的映射，使得對任意的，均有，即對任一映射，均存在，有.

從而，必為所有元素個數小于或等于的實數的集合.