Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1（x∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若?x∈[0，

π

2

]，都有f（x）-c≤0，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1可化簡(jiǎn)為2sin（2x+

π

6

），從而可求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）先求得f（x）=2sin（2x+

π

6

）在區(qū)間[0，

π

6

]上為增函數(shù)，在區(qū)間[

π

6

，

π

2

]上為減函數(shù)，f（0）=1，f（

π

6

）=2，f（

π

2

）=-1，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為2，從而可求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

解答： 解：（1）由f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1，得
f（x）=

3

（2sinxcosx）+（2cos²x-1）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（2）因?yàn)閒（x）=2sin（2x+

π

6

）在區(qū)間[0，

π

6

]上為增函數(shù)，在區(qū)間[

π

6

，

π

2

]上為減函數(shù)，
又f（0）=1，f（

π

6

）=2，f（

π

2

）=-1，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為2，最小值為-1，
故c≥f（x）_max=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察兩角和與差的正弦函數(shù)和三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于中檔題．