Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-

ax

x+1

（a＞0）．
（1）實數(shù)a為何值時，使得f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
（2）證明：（

2014

2015

）²⁰¹⁵＜

1

e

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,證明題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導數(shù)，要使得f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，只需當x＞0時，f′（x）≥0恒成立，即可求出實數(shù)a的值；
（2）要證明：（

2014

2015

）²⁰¹⁵＜

1

e

，只需證明（

2015

2014

）²⁰¹⁵＞e，兩邊取自然對數(shù)，由（1）知f（x）=ln（1+x）-

x

x+1

在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，即可得出結論．

解答： （1）解：f（x）=ln（1+x）-

ax

x+1

（a＞0）的導數(shù)
f′（x）=

x+1-a

(x+1)2

，
由于f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
即有f′（x）≥0在x＞0時恒成立，
即x+1-a≥0在x＞0時恒成立，則a≤x+1，即a≤1，
由于a＞0，則a的取值范圍是（0，1]；
（2）證明：要證（

2014

2015

）²⁰¹⁵＜

1

e

，即證（

2015

2014

）²⁰¹⁵＞e，
兩邊取自然對數(shù)，2015ln

2015

2014

＞1，即證ln（1+

1

2014

）-

1

2014+1

＞0．
由（1）知f（x）=ln（1+x）-

x

x+1

在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
由于

1

2014

＞0，則f（

1

2014

）＞f（0）=0，
令x=

1

2014

，則f（

1

2014

）=ln（1+

1

2014

）-

1

2014+1

，
則有f（

1

2014

）=ln（1+

1

2014

）-

1

2014+1

＞0，
即不等式（

2014

2015

）²⁰¹⁵＜

1

e

成立．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．