Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，前n項(xiàng)和為S_n，且a₁≥1，a₂₄≥24，S₁₂≤168，則a₉-d²的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)等差數(shù)列的公式將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用線性規(guī)劃的知識(shí)即可得到結(jié)論．

解答： 解：將a₁看成d的函數(shù)，即y=a₁，x=d，則

y≥1 y+23x≥24 y+ 11 2 x≤14

，即求y-x²+8x的范圍．
作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖，
則A（

4

7

，

76

7

），B（1，1），C（

26

11

，1），
y-x²+8x為區(qū)域上的點(diǎn)（x，y）到C的距離，
由圖象可知在B處取得最小值，yB-(12-8×1)=8，
而直線y+

11x

2

=14上能取得最大值．
M=-

11

2

x+14-(x2-8x)=-x2+

5x

2

+14，x∈(

4

7

，

26

11

)，
M的對(duì)稱軸為x=

5

4

，則x∈(

4

7

，

26

11

)，
對(duì)稱軸上的點(diǎn)能取得最大值，即Mmax=-(

5

4

)2+

5

2

×

5

4

+14=

249

16

，
∴8≤y-(x2-8x)≤

249

16

，
故答案為：[8，

249

16

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的應(yīng)用，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將不等式轉(zhuǎn)化，利用線性規(guī)劃的知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．