Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為a的正方形，且PD=a．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）若E為PC中點(diǎn)，求證：PA∥平面BDE；
（3）求直線PB與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）直接根據(jù)已知條件求出錐體的體積．
（2（利用三角形的中位線得到線線平行，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成線面平行．
（3）直接利用解三角形知識求出線面的夾角的大�。�

解答： 解：（1）四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為a的正方形，且PD=a．
所以：VP-ABCD=

1

3

•S正方形ABCD•PD
=

1

3

•a2•a=

a3

3

證明：（2）在正方形ABCD中，連接AC和BD交與點(diǎn)O，連接OE，
所以：O是AC的中點(diǎn)，
由于E是PC的中點(diǎn)，
所以：OE是△PAC的中位線，
則：OE∥PA
OE?平面BDE
PA?平面BDE，
所以：PA∥平面BDE．
解：（3）PD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為a的正方形，且PD=a．
則：BD=

2

a
所以：∠PBD就是PB與平面ABCD所成角．
則：tan∠PBD=

PD

BD

=

2

2

所以：直線PB與平面ABCD所成角的正切值為

2

2

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：錐體的體積公式的應(yīng)用，線面平行的判定，線面夾角的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．