Question

已知函數f（x）=ln（x+

3

2

）+

2

x

，g（x）=lnx
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）如果關于x的方程g（x）=

1

2

x+m有實數根，求實數m的取值集合．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數的零點與方程根的關系

專題：導數的概念及應用

分析：（1）先求函數f（x）的定義域是（-

3

2

，0）∪（0，+∞），求導得f′（x）=

(x+1)(x-3)

x2(x+ 3 2 )

，由 f′（x）＞0，得-

3

2

＜x＜-1或x＞3；由f′（x）＜0，得-1＜x＜0或0＜x＜3，即可解得函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）由g（x）=

1

2

x+m?m=lnx-

1

2

x．對φ（x）求導可得φ′（x）=

1

x

-

1

2

．當x=2時φ（x）取得最大值，且φ（x）_max=φ（2）=ln2-1．又當x無限趨近于0時，lnx無限趨近于-∞，-

1

2

x無限趨近于0，進而有φ（x）=lnx-

1

2

x無限趨近于-∞．可得實數m的取值范圍．

解答： 解：（1）函數f（x）的定義域是（-

3

2

，0）∪（0，+∞）
對f（x）求導得f′（x）=

1

x+ 3 2

-

2

x2

=

(x+1)(x-3)

x2(x+ 3 2 )

，
由 f′（x）＞0，得-

3

2

＜x＜-1或x＞3；由f′（x）＜0，得-1＜x＜0或0＜x＜3．
因此 （-

3

2

，-1）∪（3，+∞）是函數f（x）的增區(qū)間；（-1，0）和（0，3）是函數f（x）的減區(qū)間．
（2）因為g（x）=

1

2

x+m?lnx=

1

2

x+m?m=lnx-

1

2

x．
所以實數m的取值范圍就是函數φ（x）=lnx-

1

2

x的值域．
對φ（x）求導可得φ′（x）=

1

x

-

1

2

．令φ′（x）=0，得x=2，并且當x＞2時，φ′（x）＜0；當0＜x＜2時，φ′（x）＞0
∴當x=2時φ（x）取得最大值，且φ（x）_max=φ（2）=ln2-1．
又當x無限趨近于0時，lnx無限趨近于-∞，-

1

2

x無限趨近于0，
進而有φ（x）=lnx-

1

2

x無限趨近于-∞．
因此函數φ（x）=lnx-

1

2

x的值域是（-∞，ln2-1]，
即實數m的取值范圍是（-∞，ln2-1]．

點評：本題主要考查了函數的零點與方程根的關系，利用導數研究函數的單調性，屬于基本知識的考查．