考點:利用導數研究函數的單調性,函數的零點與方程根的關系
專題:導數的概念及應用
分析:(1)先求函數f(x)的定義域是(-
,0)∪(0,+∞),求導得f′(x)=
,由 f′(x)>0,得-
<x<-1或x>3;由f′(x)<0,得-1<x<0或0<x<3,即可解得函數f(x)的單調區(qū)間;
(2)由g(x)=
x+m?m=lnx-
x.對φ(x)求導可得φ′(x)=
-
.當x=2時φ(x)取得最大值,且φ(x)
max=φ(2)=ln2-1.又當x無限趨近于0時,lnx無限趨近于-∞,-
x無限趨近于0,進而有φ(x)=lnx-
x無限趨近于-∞.可得實數m的取值范圍.
解答:
解:(1)函數f(x)的定義域是(-
,0)∪(0,+∞)
對f(x)求導得f′(x)=
-=
,
由 f′(x)>0,得-
<x<-1或x>3;由f′(x)<0,得-1<x<0或0<x<3.
因此 (-
,-1)∪(3,+∞)是函數f(x)的增區(qū)間;(-1,0)和(0,3)是函數f(x)的減區(qū)間.
(2)因為g(x)=
x+m?lnx=
x+m?m=lnx-
x.
所以實數m的取值范圍就是函數φ(x)=lnx-
x的值域.
對φ(x)求導可得φ′(x)=
-
.令φ′(x)=0,得x=2,并且當x>2時,φ′(x)<0;當0<x<2時,φ′(x)>0
∴當x=2時φ(x)取得最大值,且φ(x)
max=φ(2)=ln2-1.
又當x無限趨近于0時,lnx無限趨近于-∞,-
x無限趨近于0,
進而有φ(x)=lnx-
x無限趨近于-∞.
因此函數φ(x)=lnx-
x的值域是(-∞,ln2-1],
即實數m的取值范圍是(-∞,ln2-1].
點評:本題主要考查了函數的零點與方程根的關系,利用導數研究函數的單調性,屬于基本知識的考查.