【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，是橢圓上一動點(diǎn)（與左、右頂點(diǎn)不重合）已知的內(nèi)切圓半徑的最大值為，橢圓的離心率為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過作軸的垂線交橢圓與另一點(diǎn)（不與重合）.設(shè)的外心為，求證為定值.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）當(dāng)面積最大時，最大，即點(diǎn)位于橢圓短軸頂點(diǎn)時，即可得到的值，再利用離心率求得，即可得答案；

（2）由題意知，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線為，代入橢圓方程得.設(shè)，利用弦長公式求得，利用的垂直平分線方程求得的坐標(biāo)，兩個都用表示，代入中，即可得答案.

（1）由題意知：，∴，∴.

設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，

則，

故當(dāng)面積最大時，最大，即點(diǎn)位于橢圓短軸頂點(diǎn)時，

所以，把代入，解得：，

所以橢圓方程為.

（2）由題意知，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線為，

代入橢圓方程得.

設(shè)，則，

所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以.

因?yàn)?/span>是的外心，所以是線段的垂直平分線與線段的垂直平分線的交點(diǎn)，的垂直平分線方程為，

令，得，即，所以

所以，所以為定值，定值為4.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知P是圓F1：（x+1）2+y2＝16上任意一點(diǎn)，F2（1，0），線段PF2的垂直平分線與半徑PF1交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓F1上運(yùn)動時，記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）記曲線C與x軸交于A，B兩點(diǎn)，M是直線x＝1上任意一點(diǎn)，直線MA，MB與曲線C的另一個交點(diǎn)分別為D，E，求證：直線DE過定點(diǎn)H（4，0）.

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【題目】已知橢圓的焦距為4，且過點(diǎn).

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（1）若函數(shù)f（x）恰有一個零點(diǎn)，證明：aa＝ea－1；

（2）若f（x）≥0對任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值集合．

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【題目】某大型工廠有6臺大型機(jī)器，在1個月中，1臺機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時需1名工人進(jìn)行維修，每臺機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為.已知1名工人每月只有維修2臺機(jī)器的能力（若有2臺機(jī)器同時出現(xiàn)故障，工廠只有1名維修工人，則該工人只能逐臺維修，對工廠的正常運(yùn)行沒有任何影響），每臺機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時能及時得到維修，就能使該廠獲得10萬元的利潤，否則將虧損2萬元.該工廠每月需支付給每名維修工人1萬元的工資.

（1）若每臺機(jī)器在當(dāng)月不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時，有工人進(jìn)行維修（例如：3臺大型機(jī)器出現(xiàn)故障，則至少需要2名維修工人），則稱工廠能正常運(yùn)行.若該廠只有1名維修工人，求工廠每月能正常運(yùn)行的概率；

（2）已知該廠現(xiàn)有2名維修工人.

（�。┯浽搹S每月獲利為萬元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（ⅱ）以工廠每月獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，試問該廠是否應(yīng)再招聘1名維修工人？

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（2）求直線GH與平面PBC所成的角θ的正弦值．

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（2）設(shè)，對于，的值域?yàn)?/span>，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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