Question

5．拋物線y²=8x的焦點為F，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線上的兩個動點，若x₁+x₂+4=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}|{AB}$|，
則∠AFB的最大值為（　�。�

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{3π}{4}$
• C． $\frac{5π}{6}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．

解答 解：因為${x_1}+{x_2}+4=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}|{AB}|$，|AF|+|BF|=x₁+x₂+4，所以$|{AF}|+|{BF}|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}|{AB}|$．
在△AFB中，由余弦定理得：$cos∠AFB=\frac{{{{|{AF}|}^2}+{{|{BF}|}^2}-{{|{AB}|}^2}}}{{2|{AF}|•|{BF}|}}$=$\frac{{{{（|{AF}|+|{BF}|）}^2}-2|{AF}|•|{BF}|-{{|{AB}|}^2}}}{{2|{AF}|•|{BF}|}}=\frac{{\frac{4}{3}{{|{AB}|}^2}-{{|{AB}|}^2}}}{{2|{AF}|•|{BF}|}}-1=\frac{{\frac{1}{3}{{|{AB}|}^2}}}{{2|{AF}|•|{BF}|}}-1$．
又$|{AF}|+|{BF}|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}|{AB}|≥2\sqrt{|{AF}|•|{BF}|}⇒|{AF}|•|{BF}|≤\frac{1}{3}{|{AB}|^2}$．
所以$cos∠AFB≥\frac{{\frac{1}{3}{{|{AB}|}^2}}}{{2×\frac{1}{3}{{|{AB}|}^2}}}-1=-\frac{1}{2}$，∴∠AFB的最大值為$\frac{2π}{3}$，
故選D．

點評 本題考查拋物線的定義，考查余弦定理、基本不等式的運用，屬于中檔題．