Question

設(shè)定義N^*上的函數(shù)f（n）=

n，(n為奇數(shù)) f( n 2 )(n為偶數(shù))

，a_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ），那么a_n+1-a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意，得a_n+1=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）+f（2ⁿ+1）+…+f（2ⁿ⁺¹），作差，得a_n+1-a_n，由函數(shù)解析式結(jié)合等差數(shù)列的求和公式計(jì)算可求得結(jié)果．

解答： 解：由函數(shù)f（n）=

n，(n為奇數(shù)) f( n 2 )(n為偶數(shù))

，
a_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ），得
a_n+1=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）+f（2ⁿ+1）+…+f（2ⁿ⁺¹），
則有a_n+1-a_n=f（2ⁿ+1）+…+f（2ⁿ⁺¹）
=（2ⁿ+1）+（2^n-1+1）+（2ⁿ+3）+（2^n-2+1）+（2ⁿ+5）+（2^n-1+3）+…+1
=1+3+5+…+（2ⁿ+1）+…+（2ⁿ⁺¹-1）=

1

2

（1+2ⁿ⁺¹-1）•2ⁿ
=4ⁿ．
故答案為：4ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)與數(shù)列通項(xiàng)公式的綜合應(yīng)用，主要考查分段函數(shù)的意義和等差數(shù)列的求和公式，解題時(shí)要明確題目中函數(shù)解析式和數(shù)列通項(xiàng)公式表示的意義是什么．