Question

【題目】如圖1，在直角梯形中，，，，，，點E在上，且，將三角形沿線段折起到的位置，（如圖2）.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）在線段上存在點F，滿足，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）證明：取中點，連結(jié)，推導(dǎo)出，，從而平面，由此能證明平面平面．

（Ⅱ）取中點，連結(jié)，推導(dǎo)出，，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

解：（Ⅰ）證明：取中點，連結(jié)，

在直角梯形中，，，，，，

點在上，且，將三角形沿線段折起到的位置，，

，，

在中，，，，

，

在中，，，

，，

，，，

，平面，

又面，平面平面．

（Ⅱ）解：取中點，連結(jié)，

，，，

，面，，，兩兩垂直，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，2，，，0，，

又是中點，，2，，，0，，，1，，

，3，，又，，

設(shè)平面的法向量，，，

，4，，，，，

則，取，得，1，，

平面的法向量，0，，

設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，

則，

平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．