【題目】如圖（1），在矩形中，已知分別為和的中點，對角線與交于點，沿把矩形折起，使兩個半平面所成二面角為60°，如圖（2）.

（1）求證：；

（2）求與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題（1）依題意可知，利用勾股定理分別求出，再利用勾股定理證明三角形是直角三角形，所以；（2）過作，連接，易證得為與平面所成的角，由此求得與平面所成角的正弦值為.

試題解析：

（1）證明 ：翻折前，由于是矩形的邊和的中點，所以，折疊后垂直關(guān)系不變，所以是兩個半平面所成二面角的平面角，所以．

連接，由，可知是正三角形，所以，

在中，，所以，由題可知，由勾股定理可知三角形是直角三角形，所以．

（2）設(shè)分別是的中點，連接，又，所以，則，

又，所以平面．

又，所以，又，所以平面．又平面，所以平面平面．

過作，由面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面，連接，則是在平面的投影，所以為與平面所成的角.

又是斜邊上的高，所以，又，所以．

故與平面所成角的正弦值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列的敘述正確的是（ ）

A.若非常數(shù)列為等差數(shù)列，則也可能是等差數(shù)列

B.若非常數(shù)列為等比數(shù)列，則不可能是等差數(shù)列

C.若數(shù)列的前n項和，則數(shù)列可能是等差數(shù)列

D.若等差數(shù)列的前n項和有最大值，則公差d可能大于零

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某超市為了解端午節(jié)期間粽子的銷售量，對其所在銷售范圍內(nèi)的1000名消費者在端午節(jié)期間的粽子購買量（單位：g）進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a的值；

（Ⅱ）求這1000名消費者的棕子購買量在600g～1400g的人數(shù)；

（Ⅲ）求這1000名消費者的人均粽子購買量（頻率分布直方圖中同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點為。斜率為1的直線與橢圓交于兩點，以為底邊作等腰三角形，頂點為。

（1）求橢圓的方程；

（2）求的面積。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某射擊運動員，每次擊中目標(biāo)的概率都是.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員射擊次至少擊中次的概率：先由計算器算出到之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定，表示沒有擊中目標(biāo)，，，，，，，，表示擊中目標(biāo)；因為射擊次，故以每個隨機數(shù)為一組，代表射擊次的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下組隨機數(shù)：

據(jù)此估計，該射擊運動員射擊次至少擊中次的概率為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于任意的，總存在，使得恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某超市隨機選取位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買．

甲

乙

丙

丁

√

×

√

√

×

√

×

√

√

√

√

×

√

×

√

×

85

√

×

×

×

×

√

×

×

（Ⅰ）估計顧客同時購買乙和丙的概率；

（Ⅱ）估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買中商品的概率；

（Ⅲ）如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中那種商品的可能性最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）若的圖象在點處的切線方程為，求在區(qū)間[-2，4]上的最大值；

（2）當(dāng)時，若在區(qū)間（-1，1）上不單調(diào)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是我國2012年至2018年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖．注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2012～2018.

（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；

（2）建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測2020年我國生活垃圾無害化處理量．

參考數(shù)據(jù)：，，，.

參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.

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