Question

已知數(shù)列的通項公式為，且數(shù)列的通項公式滿足

，．

（1）試確定實數(shù)的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；

（2）當數(shù)列為等差數(shù)列時，對每個正整數(shù)，在和之間插入個2，得到一個新數(shù)列。設是數(shù)列的前項和，試求滿足的所有正整數(shù)．

Answer 1

解：（1）當時，得，同理：時，得； 時，得，則由，得。

而當時，，得由，

故此時數(shù)列為等差數(shù)列。           

（2）由題意知，

則當時，，不合題意，舍去；

當時，，所以成立；

當時，若，則，不合題意，舍去；

從而必是數(shù)列中的某一項，則

T_m=a₁+2+…+2+a₂+2+…+2+a₃+2+…+2+a₄+…+a_k+2+…+2

       b₁個        b₂個       b₃個               b_k個

 ，         

又，

所以，即，

所以，因為為奇數(shù)，

而為偶數(shù)，所以上式無解。

即當時，綜上所述，滿足題意的正整數(shù)僅有.