Question

已知函數(shù)f（x）=x-alnx+

1+a

x

（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，e]上存在一個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點的判定定理

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，再通過討論a的范圍，從而求出其單調(diào)區(qū)間，（2）f（x）在區(qū)間[1，e]上存在一個零點等價于f（x）在區(qū)間[1，e]的最小值不大于0，再由①若1+a≥e，②當1+a≤1，③當1＜1+a＜e，綜合得出結論．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
∴f′(x)=1-

a

x

-

1+a

x2

=

x2-ax-(1+a)

x2

=

(x+1)[x-(1+a)]

x2

，
由定義域可知x+1＞0．
①當a+1＞0，即a＞-1時，
由f'（x）＞0得x＞1+a；由f'（x）＜0得x＜1+a．
所以f（x）的增區(qū)間為（1+a，+∞），減區(qū)間為（0，1+a）．
②當1+a≤0，即a≤-1時，易見f'（x）＞0．
所以f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）．
（2）f（x）在區(qū)間[1，e]上存在一個零點等價于f（x）在區(qū)間[1，e]的最小值不大于0．
①若1+a≥e，即a≥e-1時，由（1）可知f（x）在區(qū)間[1，e]為減函數(shù)，
所以f(x)min=f(e)=e+

1+a

e

-a≤0，
解得a≥

e2+1

e-1

因為

e2+1

e-1

＞e-1，所以a≥

e2+1

e-1

．
②當1+a≤1，即a≤0時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以f（x）的最小值為f（1）=1+1+a≤0
解得a≤-2．
③當1＜1+a＜e，即0＜a＜1-e時，f（x）的最小值為f（1+a）=2+a-aln（1+a）
因為0＜ln（1+a）＜1，所以f（1+a）=2+a[1-ln（1+a）]＞2
即此時f（x）在區(qū)間[1，e]上無零點．
綜合①，②，③的討論可知a的取值范圍是(-∞， -2]∪[

e2+1

e-1

， +∞]．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，滲透了數(shù)形結合思想，是一道綜合題．