分析 (1)圓C:x2+y2-8x=0化為(x-4)2+y2=16,得到圓心C(4,0),半徑r=4,分類討論即可求直線l的方程;
(2)設(shè)出以O(shè)M為直徑的圓的方程,變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程后找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑,由以O(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長,過圓心作弦的垂線,根據(jù)垂徑定理得到垂足為中點(diǎn),由弦的一半,半徑以及圓心到直線的距離即弦心距構(gòu)成直角三角形,利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到3x-4y-5=0的距離d,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于t的方程,求出方程的解即可得到t的值,即可確定出所求圓的方程;
(3)設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo),由→FN⊥→OM得到兩向量的數(shù)量積為0,利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則表示出一個(gè)關(guān)系式,又→MN⊥→ON,同理根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則得到另一個(gè)關(guān)系式,把前面得到的關(guān)系式代入即可求出線段ON的長,從而得到線段ON的長為定值.
解答 解:(1)圓C:x2+y2-8x=0化為(x-4)2+y2=16,得到圓心C(4,0),半徑r=4.
斜率不存在時(shí),x=0滿足題意;
斜率存在時(shí),設(shè)切線方程為y=kx+4√3,即kx-y+4√3=0,
根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑可得4=|4k+4√3|√1+k2,解得k=-√33,
故切線方程為y=-√33x+4√3,
綜上所述,直線l的方程為y=-√33x+4√3或x=0.
(2)以O(shè)M為直徑的圓的方程為(x-1)2+(y-t2)=t24+1,
其圓心為(1,t2),半徑r=√t24+1
因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2
所以圓心到直線3x-4y-5=0的距離d=|3−2t−5|5=t2,解得t=4
所求圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=5;
(3)設(shè)N(x0,y0),則→FN=(x0-1,y0),→OM=(2,t),→MN=(x0-2,y0-t),→ON=(x0,y0),
∵→FN⊥→OM,∴2(x0-1)+ty0=0,∴2x0+ty0=2,
又∵→MN⊥→ON,∴x0(x0-2)+y0(y0-t)=0,
∴x02+y02=2x0+ty0=2,
所以|→ON|=√x02+y02=√2為定值.
點(diǎn)評 此題綜合考查了圓的簡單性質(zhì),垂徑定理及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則.要求學(xué)生掌握平面向量垂直時(shí)滿足的條件是兩向量的數(shù)量積為0,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | y=x+1 | B. | y=-x2 | C. | y=x|x| | D. | y=1x |
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