Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-a）²+b在x=2處有極大值．
（Ⅰ）當(dāng)[-2，4]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象在拋物線y=1+45x-9x²的下方，求b的取值范圍．
（Ⅱ）若過原點(diǎn)有三條直線與曲線y=f（x）相切，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）其中一個(gè)函數(shù)的圖象在另一個(gè)函數(shù)圖象的下方，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的“差函數(shù)”在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)恒小于0的問題；
（2）求切線主要還是抓住切點(diǎn)，因此既然有三條切線，因此應(yīng)該有三個(gè)切點(diǎn)，也就是利用切點(diǎn)表示的方程將原點(diǎn)代入后，得到關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)x的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．再結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象求解．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x（x-a）²+b=x³-2ax²+a²x+b⇒f'（x）=3x²-4ax+a²，f'（2）=12-8a+a²=0⇒a=2或a=6，
當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)在x=2處取得極小值，舍去；
當(dāng)a=6時(shí)，f'（x）=3x²-24x+36=3（x-2）（x-6），
函數(shù)在x=2處取得極大值，符合題意，∴a=6．
∵當(dāng)x∈[-2，4]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象在拋物線y=1+45x-9x²的下方，
∴x³-12x²+36x+b＜1+45x-9x²在x∈[-2，4]時(shí)恒成立，
即b＜-x³+3x²+9x+1在x∈[-2，4]時(shí)恒成立，令h（x）=-x³+3x²+9x+1，
則h'（x）=-3x²+6x+9=-3（x-3）（x+1），由h'（x）=0得，x₁=-1，x₂=3．
∵h(yuǎn)（-2）=3，h（-1）=-4，h（3）=28，h（4）=21，
∴h（x）在[-2，4]上的最小值是-4，b＜-4．
（Ⅱ）f（x）=x³-12x²+36x+b，設(shè)切點(diǎn)為(x0，

x

3 0

-12

x

2 0

+36x0+b)，
則切線斜率為f′(x)=3

x

2 0

-24x0+36，
切線方程為y-

x

3 0

+12

x

2 0

-36x0-b=(3

x

2 0

-24x0+36)(x-x0)，
即  y=(3

x

2 0

-24x0+36)x-2

x

3 0

+12

x

2 0

+b，
∴-2

x

3 0

+12

x

2 0

+b=0⇒b=2

x

3 0

-12

x

2 0

．
令g（x）=2x³-12x²，則g'（x）=6x²-24x=6x（x-4），
由g'（x）=0得，x₁=0，x₂=4．
函數(shù)g（x）的單調(diào)性如下：

x	（-∞，0）	0	（0，4）	4	（4，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值0	↘	極小值-64	↗

∴當(dāng)-64＜b＜0時(shí)，方程b=g（x）有三個(gè)不同的解，過原點(diǎn)有三條直線與曲線y=f（x）相切．

點(diǎn)評：本題充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想在研究函數(shù)的零點(diǎn)中的作用，當(dāng)然利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、極值之必須走的常規(guī)路子．