Question

如圖，⊙O₁和⊙O₂外切于點(diǎn)P，延長PO₁交⊙O₁于點(diǎn)A，延長PO₂交⊙O₂于點(diǎn)D，若AC與⊙O₂相切于點(diǎn)C，且交⊙O₁于點(diǎn)B．求證：
（1）PC平分∠BPD；
（2）PC²=PB•PD．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)O₂C，AC⊥OC₂，又∠ABP=90°，從而PB∥O₂C，由此能證明PC平分∠BPD．
（2）連結(jié)CD，得∠BCP=∠D，從而△BPC∽△CPD，由此能證明PC²=PB•PD．

解答： 證明：（1）連結(jié)O₂C，∵AC與⊙O₂相切于點(diǎn)C，
∴AC⊥OC₂，
又∵AP是圓O₁的直徑，∴∠ABP=90°，
∴AB⊥PB，∴PB∥O₂C，
∴∠BPC=∠O₂PC，
∴PC平分∠BPD．
（2）連結(jié)CD，得∠BCP=∠D，
又∠BPC=∠CPD，
∴△BPC∽△CPD，
∴

PB

PC

=

PC

PD

，
∴PC²=PB•PD．

點(diǎn)評：本題考查直線是角的平分線的證明，考查PC²=PB•PD的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．