Question

香港違法“占中”行動對香港的經(jīng)濟、政治、社會及民生造成重大損失，據(jù)香港科技大學經(jīng)濟系教授雷鼎鳴測算，僅香港的“占中”行動開始后一個多月的時間，保守估計造成經(jīng)濟損失億港元，相等于平均每名港人承受了萬港元的損失，為了挽回經(jīng)濟損失，某廠家擬在新年舉行大型的促銷活動,經(jīng)測算某產(chǎn)品當促銷費用為萬元時,銷售量萬件滿足（其中,為正常數(shù)）.現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等,已知生產(chǎn)該產(chǎn)品萬件還需投入成本萬元（不含促銷費用）,產(chǎn)品的銷售價格定為萬元/萬件.

（1）將該產(chǎn)品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數(shù);

（2）促銷費用投入多少萬元時,廠家的利潤最大.

Answer 1

（1）其中；（2）萬元時,廠家的利潤最大.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)利潤等于收入減去成本，進而求得利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數(shù)；（2）將（1）得到的函數(shù)對其進行整理，再利用均值不等式求得利潤的最大值及其對應的的值，因為，再對和的大小分情況討論，進而求得利潤的最大值..

試題解析：（1）由題意知,該產(chǎn)品售價為萬元,

,

代入化簡得 ,（） 5分

（2）

當且僅當時,上式取等號 8分

當,即或時, 促銷費用投入1萬元時,廠家的利潤最大; 9分

當，即時,,故在上單調(diào)遞增,所以在時,函數(shù)有最大值.促銷費用投入萬元時,廠家的利潤最大 11分

綜上述,當或時, 促銷費用投入1萬元時,廠家的利潤最大;

當時,促銷費用投入萬元時,廠家的利潤最大 12分

考點：1.函數(shù)模型；2均值不等式；3.利用導函數(shù)求其最大值.