Question

香港違法“占中”行動(dòng)對(duì)香港的經(jīng)濟(jì)、政治、社會(huì)及民生造成重大損失，據(jù)香港科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)系教授雷鼎鳴測(cè)算，僅香港的“占中”行動(dòng)開始后一個(gè)多月的時(shí)間，保守估計(jì)造成經(jīng)濟(jì)損失億港元，相等于平均每名港人承受了萬港元的損失，為了挽回經(jīng)濟(jì)損失，某廠家擬在新年舉行大型的促銷活動(dòng),經(jīng)測(cè)算某產(chǎn)品當(dāng)促銷費(fèi)用為萬元時(shí),銷售量萬件滿足（其中,為正常數(shù)）.現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等,已知生產(chǎn)該產(chǎn)品萬件還需投入成本萬元（不含促銷費(fèi)用）,產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為萬元/萬件.

（1）將該產(chǎn)品的利潤(rùn)萬元表示為促銷費(fèi)用萬元的函數(shù);

（2）促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大.

Answer 1

（1）其中；（2）萬元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)利潤(rùn)等于收入減去成本，進(jìn)而求得利潤(rùn)萬元表示為促銷費(fèi)用萬元的函數(shù)；（2）將（1）得到的函數(shù)對(duì)其進(jìn)行整理，再利用均值不等式求得利潤(rùn)的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071206021323412480/SYS201507120602186562187159_DA/SYS201507120602186562187159_DA.002.png">，再對(duì)和的大小分情況討論，進(jìn)而求得利潤(rùn)的最大值..

試題解析：（1）由題意知,該產(chǎn)品售價(jià)為萬元,

,

代入化簡(jiǎn)得 ,（） 5分

（2）

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上式取等號(hào) 8分

當(dāng),即或時(shí), 促銷費(fèi)用投入1萬元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大; 9分

當(dāng)，即時(shí),,故在上單調(diào)遞增,所以在時(shí),函數(shù)有最大值.促銷費(fèi)用投入萬元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大 11分

綜上述,當(dāng)或時(shí), 促銷費(fèi)用投入1萬元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大;

當(dāng)時(shí),促銷費(fèi)用投入萬元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大 12分

考點(diǎn)：1.函數(shù)模型；2均值不等式；3.利用導(dǎo)函數(shù)求其最大值.