Question

函數f（x）的定義域為A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數，例如，函數f（x）=2x+1（x∈R）是單函數．下列命題：
①函數f（x）=x²（x∈R）是單函數；
②指數函數f（x）=2^x（x∈R）是單函數；
③若f（x）為單函數，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
④在定義域上具有單調性的函數一定是單函數；
⑤若f（x）為單函數，則函數f（x）在定義域上具有單調性．
其中的真命題是

 

．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：利用單函數的定義當f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，分別對五個命題進行判斷，可以得出正確結論．

解答： 解：①對于函數f（x）=x²，由f（x₁）=f（x₂）得x₁²=x₂²，即x₁=-x₂或x₁=x₂，所以①不是單函數，①錯誤；
②對于函數f（x）=2^x，由f（x₁）=f（x₂）得2x1=2x2，∴x₁=x₂，所以②是單函數，②正確；
③對于f（x）為單函數，則f（x₁）=f（x₂）時，有x₁=x₂，逆否命題是x₁≠x₂時，有f（x₁）≠f（x₂），所以③是正確的；
④若函數f（x）是單調函數，則滿足f（x₁）=f（x₂）時，有x₁=x₂，所以④是單函數，④正確；
⑤存在函數是單函數，但函數f（x）在定義域上不具有單調性，故⑤不正確．
故答案為：②③④．

點評：本題主要考查與函數有關的命題的真假判斷，利用單函數的定義是解決本題的關鍵．