Question

若數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n•a_n+1=2ⁿ，則S₂₀₁₂=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件得a₁=1，a₂=2，由已知條件得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)列、偶數(shù)列分別成等比數(shù)列，由此能求出S₂₀₁₂．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n•a_n+1=2ⁿ，n∈N^*
∴n=1時，a₂=2，
∵a_n•a_n+1=2ⁿ，∴n≥2時，a_n•a_n-1=2^n-1，
∴

an+1

an-1

=2，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)列、偶數(shù)列分別成等比數(shù)列，
∴S₂₀₁₂=

1-21006

1-2

+

2(1-21006)

1-2

=3×2¹⁰⁰⁶-3．
故答案為：3×2¹⁰⁰⁶-3．

點評：本題考查數(shù)列的前2012項的和的求法，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．