Question

關于x的二次方程x²+（m-1）x+1=0．
（1）一個根在（0，1）之間，另一個根在（3，4）之間，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）在區(qū)間[0，2]上有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：本題（1）根據(jù)方程的根的情況與函數(shù)的圖象關系，得到相應的關系式，解不等式組，得到本題結(jié)論；（2）根據(jù)方程的根的情況與函數(shù)的圖象關系，進行分類討論，得到相應的關系式，解不等式組，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）記f（x）=x²+（m-1）x+1．
∵關于x的二次方程x²+（m-1）x+1=0一個根在（0，1）之間，另一個根在（3，4）之間，
∴

f(0)＞0 f(1)＜0 f(3)＜0 f(4)＞0

，
∴

1＞0 m+1＜0 3m+7＜0 4m+13＞0

，
∴-

13

4

＜m＜-

7

3

，
∴實數(shù)m的取值范圍為：(-

13

4

，-

7

3

)．
（2）∵關于x的二次方程x²+（m-1）x+1=0在區(qū)間[0，2]上有解，
∴f（2）≤0或

f(2)＞0 0＜- m-1 2 ≤2 f(- m-1 2 )≤0

，
∴m≤-

3

2

或

m＞- 3 2 -3≤m＜1 m≤-1或m≥3

，
∴m≤-1．
∴實數(shù)m的取值范圍為：（-∞，-1]．

點評：本題考查了函數(shù)的圖理與方程的根據(jù)關系，本題難度不大，屬于基礎題．