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6.銳角△ABC中,其內(nèi)角A、B滿足:2cosA=sinB-3cosB.
(1)求角C的大��;
(2)D為AB的中點,CD=1,求△ABC面積的最大值.

分析 (1)由已知利用特殊角的三角函數(shù)值,兩角差的正弦函數(shù)公式可得cosA=cos(\frac{5π}{6}-B),結(jié)合A,B為銳角,利用三角形內(nèi)角和定理可求C的值.
(2)設(shè)∠ACD=α,延長CD到E,使CD=DE,則AEBC為平行四邊形,在△ACE中,由正弦定理可得a=4sinα,b=4sin(\frac{π}{6}-α),利用三角形面積公式,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得S△ABC=2sin(2α+\frac{π}{3})-\sqrt{3},利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求△ABC面積的最大值.

解答 (本題滿分為12分)
解:(1)∵2cosA+\sqrt{3}cosB=sinB,可得:cosA=\frac{1}{2}sinB-\frac{\sqrt{3}}{2}cosB=cos(\frac{5π}{6}-B),…2分
又∵A,B為銳角,
∴0<A<\frac{π}{2},\frac{π}{3}\frac{5π}{6}-B<\frac{5π}{6},
∴A=\frac{5π}{6}-B,A+B=\frac{5π}{6},可得:C=π-\frac{5π}{6}=\frac{π}{6}.…5分
(2)設(shè)∠ACD=α,延長CD到E,使CD=DE,
則AEBC為平行四邊形,
在△ACE中,AC=b,AE=BC=α,CE=2,∠CAE=\frac{5π}{6},∠AEC=\frac{π}{6}-α,
由正弦定理可得:\frac{sin(\frac{π}{6}-α)}=\frac{a}{sinα}=\frac{2}{sin\frac{5π}{6}},
所以,a=4sinα,b=4sin(\frac{π}{6}-α),…7分
S△ABC=\frac{1}{2}absin∠ABC=\frac{1}{2}×4sinα×4sin(\frac{π}{6}-α)sin\frac{π}{6}
=4sinα•sin(\frac{π}{6}-α)=2sinαcosα-2\sqrt{3}sin2α
=sin2α+\sqrt{3}cos2α-\sqrt{3}=2sin(2α+\frac{π}{3})-\sqrt{3},…11分
當(dāng)α=\frac{π}{12}時,△ABC的面積取得最大值,最大值為2-\sqrt{3}.…12分

點評 本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值,兩角差的正弦函數(shù)公式,三角形內(nèi)角和定理,正弦定理,三角形面積公式,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,綜合性較強,屬于中檔題.

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