分析 (1)由已知利用特殊角的三角函數(shù)值,兩角差的正弦函數(shù)公式可得cosA=cos(\frac{5π}{6}-B),結(jié)合A,B為銳角,利用三角形內(nèi)角和定理可求C的值.
(2)設(shè)∠ACD=α,延長CD到E,使CD=DE,則AEBC為平行四邊形,在△ACE中,由正弦定理可得a=4sinα,b=4sin(\frac{π}{6}-α),利用三角形面積公式,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得S△ABC=2sin(2α+\frac{π}{3})-\sqrt{3},利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求△ABC面積的最大值.
解答 (本題滿分為12分)
解:(1)∵2cosA+\sqrt{3}cosB=sinB,可得:cosA=\frac{1}{2}sinB-\frac{\sqrt{3}}{2}cosB=cos(\frac{5π}{6}-B),…2分
又∵A,B為銳角,
∴0<A<\frac{π}{2},\frac{π}{3}<\frac{5π}{6}-B<\frac{5π}{6},
∴A=\frac{5π}{6}-B,A+B=\frac{5π}{6},可得:C=π-\frac{5π}{6}=\frac{π}{6}.…5分
(2)設(shè)∠ACD=α,延長CD到E,使CD=DE,
則AEBC為平行四邊形,
在△ACE中,AC=b,AE=BC=α,CE=2,∠CAE=\frac{5π}{6},∠AEC=\frac{π}{6}-α,
由正弦定理可得:\frac{sin(\frac{π}{6}-α)}=\frac{a}{sinα}=\frac{2}{sin\frac{5π}{6}},
所以,a=4sinα,b=4sin(\frac{π}{6}-α),…7分
S△ABC=\frac{1}{2}absin∠ABC=\frac{1}{2}×4sinα×4sin(\frac{π}{6}-α)sin\frac{π}{6}
=4sinα•sin(\frac{π}{6}-α)=2sinαcosα-2\sqrt{3}sin2α
=sin2α+\sqrt{3}cos2α-\sqrt{3}=2sin(2α+\frac{π}{3})-\sqrt{3},…11分
當(dāng)α=\frac{π}{12}時,△ABC的面積取得最大值,最大值為2-\sqrt{3}.…12分
點評 本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值,兩角差的正弦函數(shù)公式,三角形內(nèi)角和定理,正弦定理,三角形面積公式,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,綜合性較強,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 4個 | B. | 8個 | C. | 16個 | D. | 32個 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 7.5 | B. | 7 | C. | 6 | D. | 5 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \sqrt{3},1 | B. | -\sqrt{3},1 | C. | \sqrt{3},-1 | D. | -3,-1 |
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