15．在等差數(shù)列{an}中，a1=50，S9=S17，求前n項(xiàng)的和Sn的最大值．

分析 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡S17=S9，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡，用含a1的式子表示出d，把a(bǔ)1的值代入即可求出d的值，然后由a1和d的值寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而表示出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為關(guān)于n的二次函數(shù)，配方后即可求出Sn的最大值．

解答 解：由S17=S9，
得到$\frac{17（{a}_{1}+{a}_{17}）}{2}$=$\frac{9（{a}_{1}+{a}_{9}）}{2}$，
即17（2a1+16d）=9（2a1+8d），又a1=50，
解得：d=-$\frac{2{a}_{1}}{25}$=-4，
所以an=a1+（n-1）d=-4n+54，
則Sn=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（-4n+54）}{2}$=-2n2+27n=-2（n-$\frac{27}{4}$）2+$\frac{729}{8}$，
因?yàn)閚是正整數(shù)，
所以當(dāng)n=7時(shí)，Snmax=91．

點(diǎn)評 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式化簡求值，掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，是一道中檔題．

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