Question

對定義在實數(shù)集上的函數(shù)f（x），若存在實數(shù)x₀，使得f（x₀）=x₀，那么稱x₀為函數(shù)f（x）的一個不動點．若對于任意實數(shù)b，函數(shù)f（x）=ax²+bx-b（a≠0）總有兩個相異的不動點，則實數(shù)a的取值范圍是

 

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Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：若函數(shù)f（x）=ax²+bx-b總有兩個相異的不動點，則方程ax²+bx-b=x有兩個相異的實根，由此可以構(gòu)造出一個不等式，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，解不等式即可得到a的范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）=ax²+bx-b總有兩個相異的不動點，
即關(guān)于x的方程f（x）=x有兩個不等根．
化簡f（x）=x得到ax²+（b-1）x-b=0．
所以（b-1）²+4ab＞0，即b²+（4a-2）b+1＞0．
由題意，該關(guān)于b的不等式恒成立，
所以（4a-2）²-4＜0．解之得：0＜a＜1．
故答案為：（0，1）．

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)二次函數(shù)、二次方程、二次不等式之間的關(guān)系，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為不等式或方程問題是解答本題的關(guān)鍵．