Question

下列敘述中：
①函數(shù)f（x）=x^α（α∈R）的圖象可能通過(guò)坐標(biāo)系中任何一個(gè)象限；
②函數(shù)f（x）=log_a（mx²-mx+1）（a＞0，a≠1）定義域?yàn)镽，則m∈（0，4）；
③若min{m，n}=

m (m≤n) n (m＞n)

，則函數(shù)f（x）=min{x

1

3

，2^x-2，1-3x}存在最大值；
④函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，a≠1）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；
⑤已知函數(shù)f（x）=x³+bx+clog_a（

x2+1

+x）+2（a＞0，a≠1，b，c∈R），若x＞0時(shí)，f（x）≥5，則x＜0時(shí)，有f（x）≤-1．
其中，正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題可以利用函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)圖象特征研究上述問(wèn)題，判斷其正確性，對(duì)于不正確的命題，可以列出反例加以說(shuō)明．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x^α（α∈R）中，
當(dāng)x＞0時(shí)，x^α＞0，
∴函數(shù)f（x）=x^α（α∈R）的圖象不通過(guò)坐標(biāo)系中第四象限．
故命題①不正確；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）=log_a（mx²-mx+1）（a＞0，a≠1）定義域?yàn)镽，
可取m=0，得到f（x）=log_a1=0，定義域?yàn)镽，
而m∉（0，4）．
故命題②不正確；
（3）∵取小函數(shù)min{m，n}=

m (m≤n) n (m＞n)

，
函數(shù)f（x）=min{x

1

3

，2^x-2，1-3x}，
∴f（x）的圖象草圖為下圖中

曲線y=x

1

3

位于點(diǎn)A左側(cè)部分，以及y=2^x-2位于點(diǎn)A、B間的部分，和y=1-3x位于點(diǎn)B右側(cè)的部分．
最高點(diǎn)為點(diǎn)B．
∴函數(shù)f（x）=min{x

1

3

，2^x-2，1-3x}存在最大值．
命題③正確；
（4）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
u=a^x-1為（-∞，0）上的減函數(shù)，值域（0，+∞），
y=log_au為（0，+∞）上的減函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，a≠1）定義域?yàn)椋?∞，0），
∴函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，a≠1）在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞1時(shí)，
u=a^x-1為（0，+∞）上的增函數(shù)，值域（0，+∞），
y=log_au為（0，+∞）上的增函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，a≠1）定義域?yàn)椋?，+∞），
即函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，a≠1）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
綜上，函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，a≠1）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
故命題④正確；
（5）∵函數(shù)g（x）=x³+bx+clog_a（

x2+1

+x）（a＞0，a≠1，b，c∈R），
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
∵函數(shù)f（x）=x³+bx+clog_a（

x2+1

+x）+2（a＞0，a≠1，b，c∈R），
若x＞0時(shí)，f（x）≥5，則g（x）≥3，
則x＜0時(shí)，有g(shù)（x）≤-3，f（x）≤-1．
故命題⑤正確．
故答案為：③④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)圖象，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．