Question

已知函數(shù)f（x）=log₂x-1，對(duì)于滿足0＜x₁＜x₂的任意實(shí)數(shù)x₁、x₂，給出下列結(jié)論：
①[f（x₂）-f（x₁）]（x₂-x₁）＜0；
②x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
③f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁；
④

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)，
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：考察對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，先判斷函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，函數(shù)圖象為上凸函數(shù)，然后判斷即可．

解答： 解：函數(shù)f（x）=log₂x-1在定義域（0，+∞）單調(diào)遞增，
則對(duì)于滿足0＜x₁＜x₂的任意實(shí)數(shù)x₁、x₂，給出下列結(jié)論：
①∵0＜x₁＜x₂，∴x₂-x_1^＞0，當(dāng)∵[f（x₂）-f（x₁）]（x₂-x₁）＜0時(shí)，f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），函數(shù)單調(diào)遞減，與題意函數(shù)單調(diào)遞增矛盾，①錯(cuò)誤，
②函數(shù)圖象為上凸型函數(shù)，則

f(x2)

f(x1)

＞

x2

x1

⇒x₂f（x₁）＞x₁f（x₂），②正確；
③f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁?

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞1，即函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于1，而求導(dǎo)得
f′（x）=

1

xln2

不恒大于1，③錯(cuò)誤；
④

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)，函數(shù)圖象為上凸函數(shù)，④正確，
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng)：本題解題的關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合，利用圖象解題，這是高中數(shù)學(xué)中重要的思想方法．