Question

將圓x²+y²=4上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)壓縮至原來(lái)的，所得曲線(xiàn)記作C；將直線(xiàn)3x﹣2y﹣8=0繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得直線(xiàn)記作l．

（I）求直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的方程；

（II）求C上的點(diǎn)到直線(xiàn)l的最大距離．

Answer 1

 (Ⅰ）設(shè)曲線(xiàn)C上任一點(diǎn)為（x，y），則（x，2y）在圓x²+y²=4上，

于是x²+（2y）²=4，即．

直線(xiàn)3x﹣2y﹣8=0的極坐標(biāo)方程為3ρcosθ﹣2ρsinθ﹣8=0，將其記作l₀，

設(shè)直線(xiàn)l上任一點(diǎn)為（ρ，θ），則點(diǎn)（ρ，θ﹣90°）在l₀上，

于是3ρcos（θ﹣90°）﹣2ρsin（θ﹣90°）﹣8=0，即：3ρsinθ+2ρcosθ﹣8=0，

故直線(xiàn)l的方程為2x+3y﹣8=0；

（Ⅱ）設(shè)曲線(xiàn)C上任一點(diǎn)為M（2cosψ，sinψ），

它到直線(xiàn)l的距離為d==，

其中ψ₀滿(mǎn)足：cosψ₀=，sinψ₀=．