Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁＝2，且對任意n∈N^*，都有a_n＋1＝ba_n＋c，其中b，c是常數(shù)．

⑴若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且c＝2，求數(shù)列{a_n}的通項公式；

⑵若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且|b|＜1，當從數(shù)列{a_n}中任意取出相鄰的三項，按某種順序排列成等差數(shù)列，求使數(shù)列{a_n}的前n項和S_n＜成立的n的取值集合．

Answer 1

解： (1) 當c＝2時，由已知得a₁＝2，a₂＝ba₁＋2＝2b＋2，a₃＝ba₂＋2＝2b²＋2b＋2，

因為{a_n}是等差數(shù)列，所以a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，所以a₁＋a₃＝2a₂，

即2＋(2b²＋2b＋2)＝2(2b＋2)，所以b²－b＝0，解得b＝0，或b＝1.(2分)

當b＝0時，a_n＝2，對n∈N^*，a_n＋1－a_n＝0成立，所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，

當b＝1時，a_n＋1＝a_n＋2，對n∈N^*，a_n＋1－a_n＝2成立，所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；

所以數(shù)列{a_n}的通項公式分別為a_n＝2或a_n＝2n.(4分)

(2) 因為{a_n}是等比數(shù)列，所以a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，所以a₁a₃＝a，

即2[b(2b＋c)＋c]＝(2b＋c)²，化簡得2bc＋c²＝2c，所以c＝0或2b＋c＝2.

當2b＋c＝2時，a₂＝ba₁＋c＝2b＋c＝2，所以a_n＝2，不滿足S_n＜.

當c＝0時，若b＝0，則與a₁＝2矛盾，所以b≠0，因此a_n＝2b^n－1.(8分)

則a_n＋1＝2bⁿ，a_n＋2＝2b^n＋1，因為a_n，a_n＋1，a_n＋2按某種順序排列成等差數(shù)列，

所以有1＋b＝2b²，或1＋b²＝2b，或b＋b²＝2，

解之得b＝1或b＝－或b＝－2.(12分)

又因為|b|＜1，所以b＝－，所以S_n＝＝，

由S_n＜，得＜，即ⁿ＞，

因為n是正整數(shù)，所以n的取值集合為{2,4,6,8}．(16分)