Question

已知數列{a_n}滿足a_n+1=2a_n+3×2ⁿ⁺¹，且a₁=-20，
（Ⅰ）求證：數列{

an

2n

}為等差數列，并求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）由a_n+1=2a_n+3×2ⁿ⁺¹，變形為

an+1

2n+1

-

an

2n

=3，利用等差數列的通項公式即可得出．
（II）利用“錯位相減法”和等比數列的前n項和公式即可得到．

解答： （I）證明：∵a_n+1=2a_n+3×2ⁿ⁺¹，∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=3，
∴數列{

an

2n

}為等差數列，首項為

a1

2

=-10，公差為3．
∴

an

2n

=-10+3（n-1）=3n-13，
∴a_n=（3n-13）•2ⁿ．
（II）解：數列{a_n}的前n項和S_n=-10•2-7•2²-…+（3n-16）•2^n-1+（3n-13）•2ⁿ，
∴2S_n=-10•2²-7•2³-…+（3n-16）•2ⁿ+（3n-13）•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=-10×2+3•2²+…+3•2ⁿ-（3n-13）2ⁿ⁺¹
=-26+

3×2(2n-1)

2-1

-（3n-13）•2ⁿ⁺¹
=-32+（16-3n）•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=32+（3n-16）•2ⁿ⁺¹．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式、“錯位相減法”和等比數列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．