Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-3，4），B（9，0），C，D分別為線段OA，OB上的動點，且滿足AC=BD
（1）若AC=4，求直線CD的方程；
（2）證明：△OCD的外接圓恒過定點．

Answer 1

考點：圓的一般方程,直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)條件確定C，D的坐標，根據(jù)直線的兩點式方程即可求直線CD的方程；
（2）根據(jù)AC=BD，根據(jù)待定系數(shù)法表示出C，D的坐標，利用圓的一般式方程，即可得到結論．

解答： 解：（1）若AC=4，則BD=4，
∵B（9，0），∴D（5，0），
∵A（-3，4），
∴|OA|=

32+42

=5，則|OC|=1，
直線OA的方程為y=-

4

3

x，
設C（3a，-4a），-1＜a＜0，
則|OC|=

9a2+16a2

=

25a2

=5|a|=-5a=1，
解得a=-

1

5

，
則C（-

3

5

，

4

5

），則CD的方程為

y-0

4 5 -0

=

x-5

- 3 5 -5

，
整理得x+7y-5=0，
即直線CD的方程為x+7y-5=0；
（2）證明：△OCD的外接圓恒過定點．
設C（3a，-4a），-1＜a＜0，
則|AC|=

(3a+3)2+(4+4a)2

=

25(a+1)2

=5|a+1|=5（a+1），
則|BD|=|AC|=5（a+1），則D（4-5a，0），
設△OCD的外接圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵O（0，0），C（3a，-4a），-1＜a＜0，D（4-5a，0），
∴圓的方程滿足

F=0 9a2+16a2+3aD-4aE+F=0 (4-5a)2+(4-5a)D+F=0

，
即

25a2+3aD-4aE=0 (4-5a)(4-5a+D)=0

，
則

25a+3D-4E=0 D=5a-4

，
解得E=10a-3，F(xiàn)=0，D=5a-4，
則圓的一般方程為x²+y²+（5a-4）x+（10a-3）y=0，
即x²+y²-4x-3y+5a（x+2y）=0，
由

x+2y=0 x2+y2-4x-3y=0

，
解得

x=0 y=0

或

x=2 y=-1

，
即：△OCD的外接圓恒過定點（0，0）和（2，-1）．

點評：本題主要考查直線方程的求解，以及圓的一般式方程的應用，利用待定系數(shù)法是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．