Question

如圖，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角θ為參數(shù)，則圓x²+y²-2y=0的參數(shù)方程為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：直線的參數(shù)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得圓心坐標(biāo)與半徑．當(dāng)直線與圓相交時(shí)，設(shè)直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為M（x，y），根據(jù)直角三角函數(shù)的定義，用θ表示|OM|，再由任意角的三角函數(shù)的定義得x與θ的關(guān)系，及y與θ的關(guān)系，即可得圓的參數(shù)方程．

解答： 解：方程x²+y²-2y=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y-1）²=1，
可知，圓心坐標(biāo)為（0，1），半徑為1，顯然，此圓與x軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O．
設(shè)圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為P，如右圖所示．
①當(dāng)題設(shè)直線與圓相交時(shí)，設(shè)直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為M（x，y），
連結(jié)P，M，在直角三角形OPM中，有|OM|=|OP|sinθ=2sinθ，
由三角函數(shù)的定義得

x=|OM|cosθ y=|OM|sinθ

，即

x=2sinθcosθ y=2sin2θ

，
得

x=sin2θ y=2sin2θ

（θ∈（0，π））．
②當(dāng)題設(shè)直線與圓相切時(shí)，此直線即為x軸，此時(shí)x=y=0，可取θ=0．
綜上知，圓x²+y²-2y=0的參數(shù)方程為

x=sin2θ y=2sin2θ

（θ∈[0，π））．
故答案為

x=sin2θ y=2sin2θ

（θ∈[0，π））．

點(diǎn)評：1．本題考查了圓的參數(shù)方程，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，三角函數(shù)的定義等．求參數(shù)方程，只需獲得x，y關(guān)于θ的表達(dá)式即可．用θ表示|OM|是求解本題的突破口．
2．為了使參數(shù)方程更明確，可給出θ的范圍．事實(shí)上，本題中給定θ∈R也可以，不過注明θ∈[0，π）就已經(jīng)足夠了．