Question

已知函數(shù)f（x）=2x²+bx+c（b、c∈R）在x=-1處取得極小值m-2（m∈R且m≠0），設(shè)φ（x）=

f(x)

x2

，當(dāng)x∈[-4，-2]時(shí)，函數(shù)φ（x）的最大值為

m2

32

+1，則實(shí)數(shù)m的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由函數(shù)f（x）=2x²+bx+c（b、c∈R）在x=-1處取得極小值m-2（m∈R且m≠0），得

f′(-1)=0 f(-1)=m-2

，解得b=4、及c=m，故有φ（x）=

f(x)

x2

=

2x2+4x+m

x2

=2+

4

x

+

m

x2

，
再由φ（x）=

f(x)

x2

，當(dāng)x∈[-4，-2]時(shí)，函數(shù)φ（x）的最大值為

m2

32

+1，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)φ（x）的單調(diào)性求得最大值，列出關(guān)于m的方程解得即可．

解答： 解：∵f（x）=2x²+bx+c（b、c∈R）在x=-1處取得極小值m-2，
∴

f′(-1)=0 f(-1)=m-2

即

-4+b=0 2-b+c=m-2

解得

b=4 c=m

，
∴f（x）=2x²+4x+m，φ（x）=

f(x)

x2

=

2x2+4x+m

x2

=2+

4

x

+

m

x2

，
∴φ′（x）=-

4

x2

-

2m

x3

=-

4x+2m

x3

=0得，x=-

m

2

，
∴x＜-

m

2

時(shí)，φ′（x）＞0，x＞-

m

2

時(shí)，φ′（x）＜0，
①當(dāng)-4＜-

m

2

＜-2即4＜m＜8時(shí)，當(dāng)x=-

m

2

時(shí)，函數(shù)φ（x）=

f(x)

x2

有最大值，
由φ（-

m

2

）=2-

8

m

+

4

m

=

m2

32

+1，即1-

4

m

=

m2

32

，
∵4＜m＜8時(shí)，0＜1-

4

m

＜

1

2

，

1

2

＜

m2

32

＜2，故此時(shí)方程無解；
②當(dāng)-

m

2

≤-4，即m≥8時(shí)，φ（x）在[-4，-2]上是減函數(shù)，則有
φ（-4）=1+

m

16

=

m2

32

+1，解得m=2又m≥8，故此時(shí)無解；
③當(dāng)-

m

2

≥-2，即m≤4時(shí)，φ（x）在[-4，-2]上是增函數(shù)，則有
φ（-2）=

m

4

=

m2

32

+1，即m²-8m+32=0，∵△=64-4×32＜0，故此時(shí)方程無解；
綜上所述：滿足條件的m的值不存在．
故答案為：∅．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．