在平面直角坐標系xOy中，已知定點A(－4，0)、B(4，0)，動點P與A、B連線的斜率之積為－
.
(1) 求點P的軌跡方程；
(2) 設點P的軌跡與y軸負半軸交于點C.半徑為r的圓M的圓心M在線段AC的垂直平分線上，且在y軸右側，圓M被y軸截得的弦長為
r.
(ⅰ) 求圓M的方程；
(ⅱ) 當r變化時，是否存在定直線l與動圓M均相切？如果存在，求出定直線l的方程；如果不存在，說明理由．
解：(1) 設P(x，y)，則直線PA、PB的斜率分別為k1＝
、k2＝
.
由題意知·＝－，即
＋
＝1(x≠±4)．
所以動點P的軌跡方程是＋＝1(x≠±4)．
(2) (ⅰ)由題意C(0，－2)，A(－4，0)，
所以線段AC的垂直平分線方程為y＝2x＋3.
設M(a，2a＋3)(a＞0)，
則圓M的方程為(x－a)2＋(y－2a－3)2＝r2.
圓心M到y(tǒng)軸的距離d＝a，
由r2＝d2＋
，得a＝
.
所以圓M的方程為
＋(y－r－3)2＝r2.
(ⅱ)假設存在定直線l與動圓M均相切．
當定直線的斜率不存在時，不合題意．
設直線l：y＝kx＋b，
得
r2＋(k－2)(b－3)r＋(b－3)2＝(1＋k2)r2.
所以
所以存在兩條直線y＝3和4x＋3y－9＝0與動圓M均相切．
數學奧賽暑假天天練南京大學出版社系列答案
南大教輔搶先起跑暑假銜接教程南京大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
已知雙曲線E的中心為原點，F(3，0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A、B兩點，且AB的中點為N(－12，－15)，則E的方程為____________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
如圖，橢圓C0：
＝1(a>b>0，a、b為常數)，動圓C1：x2＋y2＝t
，b<t1<a.點A1、A2分別為C0的左、右頂點，C1與C0相交于A、B、C、D四點．
(1) 求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程；
(2) 設動圓C2：x2＋y2＝t
與C0相交于A′，B′，C′，D′四點，其中b<t2<a，t1≠t2.若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，證明：t＋t為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
已知橢圓E：
＋y2＝1(a＞1)的上頂點為M(0，1)，兩條過M的動弦MA、MB滿足MA⊥MB.
(1) 當坐標原點到橢圓E的準線距離最短時，求橢圓E的方程；
(2) 若Rt△MAB面積的最大值為
，求a；
(3) 對于給定的實數a(a＞1)，動直線AB是否經過一定點？如果經過，求出定點坐標(用a表示)；反之，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
如圖，已知橢圓
＝1(a＞b＞0)的離心率為
，且過點A(0，1)．
(1) 求橢圓的方程；
(2) 過點A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于點M、N，求證：直線MN恒過定點P
.
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＝________．
－
＝1的中心為頂點，且以該雙曲線的右焦點為焦點的拋物線方程是__________．