Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)F（﹣1，0），過直線l：x=﹣2右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)P作PA⊥l于點(diǎn)A，∠APF的平分線交x軸于點(diǎn)B，|PA|= |BF|．

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線q交曲線C于M，N，試問：x軸正半軸上是否存在點(diǎn)E，直線EM，EN分別交直線l于R，S兩點(diǎn)，使∠RFS為直角？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)P（x，y），由平面幾何知識(shí)得：

= ，即 = ，

化簡(jiǎn)，得：x2+2y2=2，

∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2+2y2=2（x ）．

（2）解：假設(shè)滿足條件的點(diǎn)E（n，0）（n＞0）存在，

設(shè)直線q的方程為x=my﹣1，

M（x1，y1），N（x2，y2），R（﹣2，y3），S（﹣2，y4），

聯(lián)立 ，得：（m2+2）y2﹣2my﹣1=0，

y1+y2= ，y1y2=﹣ ，

=﹣ +1= ，

=﹣ ，

由條件知 = ，y3=﹣ ，

同理 ，

=﹣y3，kSF=﹣y4，

由于∠RFS為直角，∴y3y4=﹣1，即（2+n2）y1y2=﹣[x1x2+n（x1+x2）+n2]，

（2+n）2 = + +n2，

∴（n2﹣2）（m2+1）=0，解得n= ，

∴滿足條件的點(diǎn)E存在，其坐標(biāo)為（ ，0）．

【解析】（1）設(shè)P（x，y），由平面幾何知識(shí)得 = ，由此能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．（2）假設(shè)滿足條件的點(diǎn)E（n，0）（n＞0）存在，設(shè)直線q的方程為x=my﹣1，聯(lián)立 ，得：（m2+2）y2﹣2my﹣1=0，由此利用韋達(dá)定理、直線方程、橢圓性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出滿足條件的點(diǎn)E存在，其坐標(biāo)為（ ，0）．