Question

已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，對(duì)于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0，方程f（x）=0在[-9，9]上根的個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用賦值法可求出f（3）的值，進(jìn)一步確定出函數(shù)f（x）的周期為6，然后結(jié)合x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0，可得函數(shù)的單調(diào)性，綜合以上因素即可獲解．

解答： 解：因?yàn)閥=f（x）是R上的偶函數(shù)，對(duì)于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，
所以f（-3+6）=f（-3）+f（3），且f（-3）=f（3），所以f（3）=0．
故f（x+6）=f（x），故該函數(shù)的周期為6．
由且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0可知，函數(shù)f（x）在[0，3]上遞增，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，所以f（x）在[-3，0]上遞減．
所以在[-9，9]上只有f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0．
故f（x）=0在[-9，9]上根的個(gè)數(shù)為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期性以及單調(diào)性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．