Question

4．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}ln（x+\frac{1}{4}）$，$g（x）=ln（2x-\frac{1}{2}+t）$，若f（x）≤g（x）在區(qū)間[0，1]上恒成立，則（　�。�

• A． 實(shí)數(shù)t有最小值1
• B． 實(shí)數(shù)t有最大值1
• C． 實(shí)數(shù)t有最小值$\frac{1}{2}$
• D． 實(shí)數(shù)t有最大值$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 若對任意的x∈[0，1]，有f（x）≤g（x）恒成立，則g（x）-f（x）≥0恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x）-f（x），并將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，由題意求出t的范圍，可得原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞增，求其最小值，由最小值大于等于0求得t有最小值1．

解答 解：若對任意的x∈[0，1]，有f（x）≤g（x）恒成立，
則對任意的x∈[0，1]，有g(shù)（x）-f（x）≥0恒成立，
令h（x）=g（x）-f（x）=$ln（2x-\frac{1}{2}+t）-\frac{1}{2}ln（x+\frac{1}{4}）$，x∈[0，1]，
則h′（x）=$\frac{2}{2x-\frac{1}{2}+t}-\frac{1}{2x+\frac{1}{2}}$=$\frac{2x+\frac{3}{2}+t}{（2x-\frac{1}{2}+t）（2x+\frac{1}{2}）}$，x＞max{$-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}-t$}．
由題意可得$\frac{1}{2}-t≤0$，即t$≥\frac{1}{2}$，再由h′（x）=0，可得x=$-\frac{3}{4}-\frac{t}{2}$≤-1，
則h（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，$h（x）_{min}=h（0）=ln（-\frac{1}{2}+t）-\frac{1}{2}ln\frac{1}{4}≥0$，解得t≥1．
∴實(shí)數(shù)t有最小值1．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握導(dǎo)數(shù)符號與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，是解答的關(guān)鍵，是中檔題．