Question

【題目】已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求的值；

（2）證明： 為上的增函數(shù)；

（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ； (2)見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，取x=1，得f（1）+f（﹣1）=0，解之得a=2，再經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)可得當(dāng)a=2時(shí)，f（x）+f（﹣x）=0對(duì)x∈R恒成立，所以f（x）是奇函數(shù)；（2）令t=2x，得，再用單調(diào)性的定義，證出當(dāng)x1∈R，x2∈R且x1＜x2時(shí)，y1﹣y2=，討論可得y1＜y2，所以f（x）在R上是增函數(shù)；（3）因?yàn)?/span>f（x）是奇函數(shù)，并且在R上是增函數(shù)，所以原不等式對(duì)任意的x∈R恒成立，即mx2+1＞mx﹣1對(duì)任意的x∈R恒成立，化簡(jiǎn)整理得關(guān)于m的一元二次不等式，最后經(jīng)過(guò)分類討論，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為0≤m＜8．

試題解析：

（1）∵函數(shù)是奇函數(shù)，

∴，

可得，解之得： ，

檢驗(yàn)： 時(shí)， ，

∴

∴對(duì)恒成立，即是奇函數(shù).

∴

（2）證明：令，則

設(shè)， ，且，∵在上是增函數(shù)，∴，

當(dāng)時(shí)，∴ ， ， ，∴，可得在上是增函數(shù).

（3）∵是奇函數(shù)，

∴不等式等價(jià)于

∵在上是增函數(shù)，

∴對(duì)任意的，原不等式恒成立，即對(duì)任意恒成立，

化簡(jiǎn)整理得： 對(duì)任意恒成立，

（1）當(dāng)時(shí)，不等式即為恒成立，符合題意；

（2）當(dāng)時(shí)，有，即，

綜上所述：可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.