Question

己知函數(shù)f（x）=lnx+

1

lnx

，則下列結(jié)論中正確的是（　�。�

• A、若x₁，x₂（x₁＜x₂）是f（x）的極值點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（x₁，x₂）內(nèi)是增函數(shù)
• B、若x₁，x₂（x₁＜x₂）是f（x）的極值點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（x₁，x₂）內(nèi)是減函數(shù)
• C、?x＞0，且x≠1，f（x）≥2
• D、?x₀＞0，f（x）在（x₀，+∞）上是增函數(shù)

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：探究型,簡(jiǎn)易邏輯

分析：求導(dǎo)數(shù)，可得（

1

e

，e）上函數(shù)單調(diào)遞減，（0，

1

e

），（e，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞增，即可判斷．

解答： 解：∵f（x）=lnx+

1

lnx

（x＞0且x≠1），
∴f′（x）=

1

x

-

1

x(lnx)2

=0，∴x=e，或x=

1

e

當(dāng)x∈（0，

1

e

）時(shí)，f′（x）＞0，；當(dāng)x∈（

1

e

，1），x∈（1，e）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
故x=

1

e

和x=e分別是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，而函數(shù)f（x）在（

1

e

，e）上單調(diào)遞減，故A、B錯(cuò)誤；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，lnx＜0，f（x）＜0，不滿足不等式，故C錯(cuò)誤；
只要x₀≥e，f（x）在（x₀，+∞）上時(shí)增函數(shù)，故D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．