Question

已知橢圓C₁，拋物線C₂的焦點均在x軸上，C₁的中心和C₂的頂點均為原點O，從每條曲線上各取兩個點，其坐標分別是（3，一2

3

），（一2，0），（4，一4），（

2

，

2

2

）．
（Ⅰ）求C₁，C₂的標準方程；
（Ⅱ）是否存在直線L滿足條件：①過C₂的焦點F；②與C₁交與不同的兩點M，N且滿足

OM

⊥

ON

？若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設拋物線C₂：y²=2px（p≠0），則有

y2

x

=2p，x≠0，由此能求出C₂：y²=4x，設C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），由題意得

4 a2 =1 2 a2 + 1 2b2 =1

，由此能求出

C

1

的方程為：

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，直線l交拋物線于M（1，

3

2

），N（1，-

3

2

），

OM

•

ON

≠0，不滿足題意，當直線l的斜率存在時，假設存在直線l，過拋物線焦點F（1，0），設其方程為y=k（x-1），與C₁的交點坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

x2 4 +y2=1 y=k(x-1)

，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，由此利用韋達定理結合已知條件能求出直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設拋物線C₂：y²=2px（p≠0），
則有

y2

x

=2p，x≠0，
據此驗證4個點知（3，-2

3

），（4，-4）在拋物線上，
∴C₂：y²=4x，
設C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
把點（-2，0），（

2

，

2

2

）代入，得：

4 a2 =1 2 a2 + 1 2b2 =1

，解得

a=2 b=1

，
∴

C

1

的方程為：

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，
直線l的方程為x=1，直線l交拋物線于M（1，

3

2

），N（1，-

3

2

），

OM

•

ON

≠0，不滿足題意，
當直線l的斜率存在時，假設存在直線l，過拋物線焦點F（1，0），
設其方程為y=k（x-1），與C₁的交點坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

x2 4 +y2=1 y=k(x-1)

，消去y并整理，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，
∴x1+x2=

8k2

1+4k2

，x1x2=

4(k2-1)

1+4k2

，①
y₁y₂=k（x₁-1）•k（x₂-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]，
∴y1y2=k2[

4(k2-1)

1+4k2

-

8k2

1+4k2

+1]=-

3k2

1+4k2

，②
由

OM

⊥

ON

，即

OM

•

ON

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0，
將①，②代入（*）式，得

4(k2-1)

1+4k2

-

3k2

1+4k2

=

k2-4

1+4k2

=0，
解得k=±2，
∴存在直線l滿足條件，且l的方程為2x-y-2=0或2x+y-2=0．

點評：本題考查拋物線和橢圓的標準方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．