Question

已知某家企業(yè)的生產(chǎn)成本z（單位：萬元）和生產(chǎn)收入ω（單位：萬元）都是產(chǎn)量x（單位：t）的函數(shù)，其解析式分別為：z=x³-18x²+75x-80，ω=15x
（1）試寫出該企業(yè)獲得的生產(chǎn)利潤y（單位：萬元）與產(chǎn)量x（單位：t）之間的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少時，該企業(yè)能獲得最大的利潤？最大利潤是多少？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意，利用銷售收入減去生產(chǎn)成本，可得生產(chǎn)利潤函數(shù)；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值．

解答： 解：（1）∵生產(chǎn)成本z（單位：萬元）
和生產(chǎn)收入ω（單位：萬元）都是產(chǎn)量x（單位：t）的函數(shù)，
其解析式分別為：z=x³-18x²+75x-80，ω=15x
∴該企業(yè)獲得的生產(chǎn)利潤y（單位：萬元）與產(chǎn)量x（單位：t）之間的函數(shù)解析式：
y=-x³+18x²-60x+80（x≥0）
（2）∵y=-x³+18x²-60x+80（x≥0），
∴y′=-3x²+36x-60，
由y′=0，得x=2或x=10，
當(dāng)x∈[0，2）時，y′＜0；當(dāng)x∈[2，10）時，y′＞0；
當(dāng)x∈（10，+∞）時，y′＜0，
∴f（x）_極大值=f（10）=280．
∴產(chǎn)量為10t時該企業(yè)能獲得最大的利潤，最大利潤為280萬元．

點評：利用已知條件能求出產(chǎn)量之間的函數(shù)解析式，求當(dāng)產(chǎn)量為多少時，該企業(yè)能獲得最大的利潤并求出最大利潤，是中檔題，解題時要注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．