Question

已知數列{a_n}的通項a_n=ln[1+n（n+1）]，前n項和為S_n，證明不等式：S_n＞2n-3．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法,推理和證明

分析：利用數學歸納法，（1）當n=1時，易證S₁＞2×1-3=-1成立，n=2時，S₂=ln21＞1=2×2-3，不等式成立；
（2）假設n=k（k≥2）時，S_k＞2k-3成立，利用歸納假設，去推證當n=k+1時，S_k+1＞2（k+1）-3也成立即可．

解答： 證明：（利用數學歸納法）
（1）當n=1時，S₁=a₁=ln3＞1＞2×1-3，即S₁＞2×1-3=-1，成立；
當n=2時，S₂=a₁+a₂=ln3+ln7=ln21＞lne²=2＞1=2×2-3，不等式成立；
（2）假設n=k（k≥2）時，S_k＞2k-3，
則當n=k+1時，S_k+1=S_k+a_k+1=S_k+ln[1+（k+1）（k+2）]=S_k+ln（k²+3k+3）＞2k-3+lne²=2k-1=2（k+1）-3，
所以，當n=k+1時，S_k+1＞2（k+1）-3，
綜合（1）（2），對?n∈N⁺，該命題都成立．

點評：本題考查數學歸納法的應用，著重考查推理論證能力，屬于中檔題．