Question

π是圓周率，a，b，c，d∈Q，已知命題p：若aπ＋b＝cπ＋d，則a＝c且b＝d.

(1)寫(xiě)出命題p的否定并判斷真假；

(2)寫(xiě)出命題p的逆命題、否命題、逆否命題并判斷真假；

(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的什么條件？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解　(1)原命題p的否定是：“若aπ＋b＝cπ＋d，則a≠c或b≠d”．假命題．

(2)逆命題：“若a＝c且b＝d，則aπ＋b＝cπ＋d”，真命題．

否命題：“若aπ＋b≠cπ＋d，則a≠c或b≠d”，真命題．

逆否命題：“若a≠c或b≠d，則aπ＋b≠cπ＋d”，真命題．

(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的充要條件．

證明如下：

充分性：若a＝c，則aπ＝cπ，

∵b＝d，∴aπ＋b＝cπ＋d.

必要性：∵aπ＋b＝cπ＋d，∴aπ－cπ＝d－b，

即(a－c)π＝d－b.

∵d－b∈Q，∴a－c＝0，d－b＝0，即a＝c，b＝d.

∴“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的充要條件．